Ένας αντι-νομιναλιστικός τύπος στη Γεωμετρία

(Μια φανταστική αλληλογραφία των Μαρξ και Ένγκελς)

του Τάσου Πατρώνη

Αντί για Πρόλογο

Τούτα τα γράμματα τα εμπιστεύτηκε σε μένα και σ’ ένα φίλο και συμφοιτητή μου, επειδή είμαστε μαθηματικοί, ένας θείος του που ήταν σαν να περπατούσε με ξύλινο πόδι. Αυτός ο θείος του συμφοιτητή μου είχε με τη σειρά του θείο το μεγάλο Νίκο Καζαντζάκη, που ο συμφοιτητής μου τού έμοιαζε στην όψη καταπληκτικά. Σύμφωνα με τα λεγόμενα του θείου με το σαν-ξύλινο-πόδι, ο Καζαντζάκης είχε βρει στη Ζυρίχη αυτά τα γράμματα το 1918, ένα χρόνο μετά το ξέσπασμα της μεγάλης Ρώσικης Επανάστασης, σε κάποιο παλαιοπώλη που αρνιόταν επίμονα να φανερώσει πού τα βρήκε και είχε σκοπό να τα μοσχοπουλήσει, γιατί νόμιζε πως είχε μπροστά του «τον γιο του Νίτσε». Μόλις όμως κατάλαβε πως επρόκειτο για έναν Έλληνα πλούσιο περισσότερο σε ιδέες παρά σε χρήματα, τού τα πούλησε, καθώς είπε, στη μισή τιμή. Είναι πολύ πιθανό, καθώς εκτιμούσε και ο Καζαντζάκης, τα δύο πρόσωπα που αλληλογραφούν τα έτη 1867-1868 με τα ψευδώνυμα «Μορ» και «Φρεντ» και με τα αρχικά “Μ.” και “Φ.Ε.” να είναι ο Καρλ Μαρξ και ο Φρίντριχ Ένγκελς. Το όνομα της Τζένης Βεστφάλεν, που εμπλέκεται στην αλληλογραφία, ενισχύει περισσότερο αυτή την εκτίμηση, καθώς πρόκειται για το όνομα της συζύγου του Μαρξ.

To 1987, που γιορτάζαμε με όχι πολύ μεγάλο ενθουσιασμό τα 70 χρόνια από τη Ρώσικη Επανάσταση, αιφνιδιάστηκα όταν έπεσε στα χέρια μου η ελληνική έκδοση των μαθηματικών χειρόγραφων του Μαρξ. Αν το ήξερα νωρίτερα, θα είχα δώσει τούτα τα γράμματα στους μεταφραστές για να τα περιλάβουν μαζί με τ’ άλλα, και θα είχα γλυτώσει και τη μετάφραση. Τώρα τα όποια τυχόν μεταφραστικά και ιστορικά παραστρατήματα βαραίνουν μόνο εμένα…

***

1867

Λονδίνο, 8 Δεκέμβρη

Αγαπητέ Φρεντ

Όπως σου έγραψα το Νοέμβρη, δυσκολεύομαι πολύ να στρωθώ να γράψω ο,τιδήποτε, αλλά προσπαθώ, πιέζοντας τον εαυτό μου, και το μοναδικό πράμα που με ηρεμεί είναι ν’ ασχολούμαι με τα μαθηματικά. Η άλγεβρα, από την οποία ξεκίνησα για να διορθώνω τους οικονομικούς υπολογισμούς μου, άρχισε να μου γίνεται ευχάριστη parelle–même¹ – ενώ η αριθμητική μού είναι πάντα ξένη και ανυπόφορη (ιδίως κάτι ηλίθια προβλήματα με βρύσες και άλλες απίθανες υποθέσεις, που θα μπορούσαν να λυθούν εύκολα με ένα σύστημα εξισώσεων πρώτου βαθμού). Η χαρά μου είναι οι λογαριθμικές εξισώσεις. Ο λογάριθμος είναι η ανθρώπινη αίσθηση στα φυσικά φαινόμενα, π.χ. η προσθετική αντίληψη του πολλαπλασιασμού συχνοτήτων. Ακόμα προσπαθώ να βρω ένα πλήρες αντίτυπο της Άλγεβρας του Euler, έχω μόνο τον πρώτο τόμο, και σε κακή κατάσταση. Έχεις να μου στείλεις μήπως το πλήρες έργο; Θα σου ήμουν ευγνώμων για μια ζωή!

Δικός σου, Μ.

Μάντσεστερ, 10 Δεκέμβρη

Αγαπητέ Μορ

Το γράμμα σου μού δημιούργησε περισσότερη ανησυχία από χαρά. Ξέρεις ότι πάντα χαίρομαι την ορμητική γραφή σου, αλλά τούτη τη φορά σε ένιωσα σαν κακομαθημένο παιδί, που μοιάζει μάλιστα να έχει γεράσει πρόωρα! Τι είδους καταφύγιο βρίσκεις άραγε στα καθαρά μαθηματικά, εσύ που δεν μπορείς τις αφηρημένες και ανόητες φιλοσοφικές γενικεύσεις;

Όπως σου έχω ξαναπεί, η άλγεβρα ξεκίνησε από την αριθμητική του Διόφαντου και ίχνη της βρίσκουμε ακόμα και στον πολιτισμό της βαρβαρότητας. Είναι ένα εργαλείο, ένα καλό εργαλείο και τίποτα άλλο, που στη Γαλλία χρησιμεύει σαν κριτήριο για την εισαγωγή στις Ανώτατες Σχολές. Όσο για το διαφορικό λογισμό, τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά. Οι μεταβολές εδώ είναι συνεχείς, είναι απειροελάχιστες και αντιστοιχούν πολύ ωραία στη διαλεκτική του γίγνεσθαι. Α propos² έχω να σου στείλω αρκετά βιβλία, αν και είμαι σίγουρος ότι μερικά απ’ αυτά θα τα έχεις ήδη. Έχεις μήπως την Traité du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral³ του Lacroix; Αυτή είναι η πιο σύγχρονη και ενημερωμένη πραγματεία σε τρεις τόμους, που μπορώ αμέσως να σού τους στείλω, αν δεν τους έχεις.

Δικός σου, Φ. Ε.

1868

Λονδίνο, 19 Φλεβάρη

Αγαπητέ μου Στρατηγέ Φρεντ, mein General

(Η Τζένη σε αποκαλεί συχνά έτσι, όπως ξέρεις, εξαιτίας των άρθρων σου πάνω σε στρατιωτικά θέματα!)

Σήμερα αποφάσισα, επιτέλους, να σου γράψω σχετικά με την ανώτερη γεωμετρία των γενικευμένων ελλειψοειδών σωμάτων, που έχει αρχίσει από καιρό να με τραβάει, εξίσου τουλάχιστον με την ανώτερη άλγεβρα. Πιο συγκεκριμένα, στον ελεύθερο χρόνο μου προσπαθώ να προσδιορίσω τον όγκο των γενικευμένων ελλειψοειδών -στα οποία όπως είναι πασίγνωστο πλέον, ανήκει και η Γη μας- αλλά δυστυχώς μού λείπουν αρκετές γνώσεις σ’ αυτόν τον τομέα. Γι’ αυτό το λόγο τελευταία μάζεψα κάποια σχετικά βιβλία ανώτερης γεωμετρίας, που μαζί με τα βιβλία διαφορικού λογισμού θα σού είναι κι εσένα χρήσιμα για τις στρατιωτικές σου μελέτες.

Από την εποχή του Πλάτωνα και του Ευκλείδη, η επιστήμη της γεωμετρίας είναι το βασίλειο των αντι-νομιναλιστικών ορισμών⁴. Ο Cauchy και οι οπαδοί του θέλησαν να αναγάγουν την γεωμετρία σε μια βιρτουόζικη παράθεση αναλυτικών τύπων και οριζουσών⁵, αποφεύγοντας την άμεση σύνδεσή της με την υλική πραγματικότητα. Σε αντίθεση μ’ αυτούς, λέω να ορίσουμε εμείς ως γενικευμένο ελλειψοειδές ή ωοειδές ένα στερεό σώμα με λεία επιφάνεια, σαν ένα ωραίο και λειασμένο βότσαλο, το οποίο δεν έχει πουθενά κοιλότητες και μπορεί να προσεγγιστεί όσο θέλουμε με πολύεδρα εγγεγραμμένα στην επιφάνειά του. Ο όγκος ενός γενικευμένου ελλειψοειδούς σώματος είναι η οριακή τιμή του όγκου ενός μεταβλητού εγγεγραμμένου πολυέδρου, όταν το πολύεδρο παραμένει εγγεγραμμένο στο ελλειψοειδές και καθώς το πλήθος των εδρών του γίνεται άπειρα μεγάλο, ενώ ταυτόχρονα η επιφάνεια κάθε έδρας γίνεται απειροελάχιστα μικρή.

Είμαι σίγουρος πως η ανώτερη άλγεβρα των μεταβλητών ποσοτήτων είναι απόλυτα σε θέση να μας εξασφαλίσει την ύπαρξη της παραπάνω οριακής τιμής, αλλά το πώς ακριβώς αυτή η τιμή θα προσδιοριστεί πρακτικά δυστυχώς διαφεύγει αυτή την ώρα από τις τεχνικές τις γνωστές, σ’ εμένα τουλάχιστον.

Δικός σου, Μ.

Μάντσεστερ, 28 Φλεβάρη

Αγαπητέ μου ερασιτέχνη γεωμέτρη Μορ

Το γράμμα σου ήταν μια ευχάριστη έκπληξη για μένα. Αισθάνομαι πως έχεις κάνει βήματα προς τα εμπρός, αλλά δεν μπορώ προς το παρόν να σε βοηθήσω, παρά μόνο στο φιλοσοφικό επίπεδο. Αυτού του είδους η γεωμετρία μού είναι σχεδόν άγνωστη, αλλά νιώθω διαισθητικά πως βρίσκεσαι σε καλό δρόμο, γιατί χαρακτήρισες την επιστήμη της γεωμετρίας γενικώς «αντι-νομιναλιστική»- γεγονός που δείχνει για μένα ότι την όλη συγκρότησή της την αντιλαμβάνεσαι καλά και θα μπορούσες να συμβάλεις στην επέκτασή της. Μίλησες βέβαια μόνο για τους ορισμούς της γεωμετρίας, αλλά οι ορισμοί δείχνουν τη φύση μιας επιστήμης στο σύνολό της, ως εποικοδομήματος.

Η διαλεκτική διαδικασία, που μας κληρονόμησε ο γέρο-Χέγκελ, μπορεί να σε βοηθήσει το ίδιο καλά στις φιλοσοφικο-μαθηματικές σου μελέτες.

Αρκεί να καταλάβουμε τι σημαίνει, στην περίπτωση της φιλοσοφίας της γεωμετρίας, το περίφημο σχήμα «θέση-αντίθεση-σύνθεση».

Ας αρχίσουμε, λοιπόν, από τον Πυθαγόρα και τον Πλάτωνα με την Ακαδημία του, γιατί εκεί έχουμε, για πρώτη φορά στην ιστορία της γεωμετρίας, μία ισχυρή θέση. Γεωμετρία για τους Έλληνες δεν σημαίνει απλά αυτό που λέει η λέξη, «μέτρηση της γης» -αυτή είναι η πρακτική γεωμετρία των υπαλλήλων του κράτους του Φαραώ- αλλά κάτι πολύ παραπέρα: είναι, ας πούμε, η απλοϊκή πυθαγορικο-πλατωνική ερμηνεία του κόσμου. Ο Ευκλείδης, όμως, παράγει θεωρήματα στα οποία, πολύ αργότερα θα στηριχθεί ο Νεύτωνας και η Επιστημονική Επανάσταση. Με τους Σχολαστικούς της Παπικής κυριαρχίας έρχεται η αντίθεση του Νομιναλισμού: οι γενικές έννοιες, όπως και οι ευθείες και κύκλοι του Ευκλείδη, θεωρούνται απλά ονόματα για τάξεις ομοειδών αντικειμένων που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις. Και τελικά ο Αντινομιναλισμός στον οποίο ευφυώς αναφέρεσαι, ξεκινάει με το Γαλιλαίο και μπορεί να είναι η σύνθεση! Αυτή τη σύνθεση δεν μπορούμε να τη συλλάβουμε από τώρα πλήρως. Το μόνο που σίγουρα μπορούμε να πούμε είναι ότι για μας «Αντινομιναλισμός» δεν σημαίνει επιστροφή στον Πλατωνισμό (αλλοίμονο!), ούτε και προσχώρηση στον Καντιανισμό, αλλά μια πολύ ευρύτερη και διαλεκτική οπτική, που θα περιλαμβάνει οπωσδήποτε τις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες.

Σε ανθρώπους με πάθος για τα μαθηματικά, όπως ήταν ο μακαρίτης Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι και είναι και μερικοί άλλοι, αλλοπαρμένοι επαγγελματίες από το χώρο του αστικού πανεπιστήμιου (αλλά γιατί όχι κι εσύ ο ερασιτέχνης γεωμέτρης!) εναπόκειται να γεμίσουν με καινούργιο νόημα την ανώτερη, αντι-καντιανή και αντι-νομιναλιστική γεωμετρία.

Δικός σου, Φ. Ε.

Υστερόγραφο: Όσο για τον πρακτικό προσδιορισμό του όγκου των «γενικευμένων ελλειψοειδών», όπως τα ονομάζεις, πιστεύω πως δεν πρέπει να ανησυχείς. Αυτό που εσύ θέλεις να φτιάξεις είναι ένα θεωρητικό μέρος του εποικοδομήματος, απόλυτα συνεπές μέσα στην περιορισμένη και ασφυχτική, για μένα, ολότητά του!

Λονδίνο, 15 Μάρτη

Αγαπητέ Φρεντ

Το τελευταίο σου γράμμα -και ιδιαίτερα το άδικο για μένα υστερόγραφό του- με στεναχώρησε αντί να με ευχαριστήσει. Ξέρεις πολύ καλά ότι δεν βαυκαλίζομαι με ανούσιες αφαιρέσεις σε κανένα τομέα των ενδιαφερόντων μου, άρα ούτε και στα μαθηματικά. Αν έχω γι’ αυτά κάποια ιδιαίτερη αγάπη, είναι γιατί μου βάζουν σε τάξη τις σκέψεις μου, μου ακονίζουν το εργαλείο του νου και αυτό με ηρεμεί αφάνταστα. Είναι σαν να γυαλίζεις τα όπλα του ταξικού αγώνα.

Αυτή τη φορά μου έδωσε μια γερή ώθηση η Τζένη, παρ’ όλο που συνέχεια μου επαναλαμβάνει πως με τη φιλοσοφία των μαθηματικών δεν έρχονται λεφτά στο σπίτι, και πως είναι καλύτερα να πουλάω τα οικονομικά άρθρα μου στις εφημερίδες!…. Βλέποντάς με όμως να καταγίνομαι με τη γεωμετρία θέλησε να με βοηθήσει. Δεν παύει να είναι μία Βεστφάλλεν με ανώτερη μόρφωση, που θέλει να έχει γνώμη για τα πάντα, ακόμα και για τον όγκο των ελλειψοειδών! Μου πρότεινε, λοιπόν, να γενικεύσω τον τύπο που δίνει τον όγκο της σφαίρας με ακτίνα R,

στη μορφή

όπου μ ο γεωμετρικός μέσος τριών γραμμικών στοιχείων του ελλειψοειδούς και k μια σταθερά που δεν εξαρτάται από το μέγεθός του. Αυτό μοιάζει να είναι μια τρέλλα κι όμως έχει μια λογική βάση. Η Τζένη έχει στο νου της ένα συμμετρικό ελλειψοειδές με ημιάξονες α, β, γ οπότε ο τύπος της προφανώς ισχύει:

Αυτό είναι πολύ ωραίο, αλλά το πρόβλημα είναι τί γίνεται με τα γενικευμένα ελλειψοειδή ή ωοειδή που δεν είναι συμμετρικά και δεν έχουν «ημιάξονες». Ποια γραμμικά στοιχεία μπορούν να εκφράσουν το μέγεθός τους; Σκέψου κι εσύ, Φρεντ, μαζί μας, κάνε κάτι κι εσύ, αν μπορείς, στον λιγοστό ελεύθερο χρόνο σου…

Δικός σου, Μ.

Μάντσεστερ, 2 Απρίλη

Αγαπητέ Μορ – κι αγαπητή μου Τζένη

Σας γράφω αυτό το γράμμα βιαστικά, γιατί σήμερα το πρωί στο κρεββάτι μού ήρθε μια υπέροχη διαλεκτική ιδέα για τα ελλειψοειδή σας. Όμως έχω ένα σωρό οικονομικές εκκρεμότητες μπροστά μου, και, όπως περίπου θα έλεγε και ο απίθανος εκείνος μαθηματικός του ΙΖ’ αιώνα, δεν μου φτάνει το περιθώριο του χρόνου μου (ενώ για εκείνον δεν έφτανε το περιθώριο του βιβλίου του)⁶. Λοιπόν, φίλοι μου, αντί γι’ αυτό τον αξιοθρήνητο μέσο μ, που κατ’ επίφαση λέγεται «γεωμετρικός» ενώ στηρίζεται στην άλγεβρα, και αντί γι’ αυτή την ουδέτερη και ανούσια σταθερά k, σας προτείνω να επιλέξετε ένα μονάχα αντιπροσωπευτικό μήκος d, όπως είναι για παράδειγμα ο μεγαλύτερος άξονας ενός ελλειψοειδούς, η διάμετρος του Ισημερινού στο ακανόνιστο σχήμα της Γης μας, ακόμα και η ραχοκοκκαλιά ενός ψαριού, και να περάσετε τις σχέσεις των υπόλοιπων μηκών ως προς το d μέσα σ’ ένα σπουδαίο και μεταβλητό συντελεστή Κ κεφαλαίο! Αυτός ο υπέροχος συντελεστής θα είναι αναλλοίωτος από κάθε συστολή και διαστολή του σώματος ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις. Έτσι, ο τύπος προς απόδειξη γίνεται , όπου το d αναφέρεται στο μέγεθος του σώματος, ενώ το Κ στη μορφή του. Και μη δυσανασχετήσεις, Μορ, εσύ, ένας διαλεκτικός υλιστής, για την έκφρασή μου «μεταβλητός συντελεστής Κ». Όπως ξέρεις υπάρχουν κι άλλες τέτοιες τολμηρές εκφράσεις στα μαθηματικά, όπως λ.χ. «αρνητικός αριθμός» ή «η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα», που δεν τα αφήνουν να αποκρυσταλλωθούν σε ιδεαλιστικές μορφές, αλλά τα ωθούν σε νέες έννοιες μέσα από διαλεκτικές αντιφάσεις.

Σας φιλώ και τους δύο,
Φ.Ε.

Λονδίνο, 22 Απρίλη

Αγαπητέ Φρεντ

Το γράμμα σου ήταν βαθυστόχαστο και γεμάτο φιλοσοφικο-μαθηματική έμπνευση. Ο τύπος που διατυπώνεις για τον όγκο των ελλειψοειδών είναι ένα υπέροχο αντι-νομιναλιστικό θεώρημα στη γεωμετρία, αρκεί να ορίσουμε το μήκος d και να δώσουμε βέβαια και κάποια απόδειξη. Στην πραγματικότητα, όπως και να επιλέξουμε το d, φαντάζομαι πως η αλήθεια αυτού του θεωρήματος θα είναι σχεδόν αυταπόδεικτη στη γενική του μορφή, αλλά πολύ δύσκολα θα εξειδικεύεται, «με σάρκα και οστά» σε κάποια στερεά σώματα, όπως εκείνα τα γενικευμένα ελλειψοειδή που δεν έχουν κανένα άξονα συμμετρίας (όπως π.χ. είναι ένα ακανόνιστο βότσαλο).

Όσο για το μήκος d, μου φαίνεται πως η καλύτερη επιλογή θα είναι να πάρουμε απλά το μεγαλύτερο εύρος του σχήματος, δηλαδή την μεγαλύτερη δυνατή απόσταση μεταξύ των σημείων του. Έτσι λ.χ. στην περίπτωση που το σχήμα μας είναι σφαίρα με διάμετρο 2R, θα είναι d = 2R και επομένως ο όγκος θα είναι (όπως τον ξέρουν ακόμα και στα σχολιαρόπαιδα):

Έτσι, στην περίπτωση της σφαίρας ο υπέροχος διαλεκτικός συντελεστής σου Κ θα είναι ίσος με π/6, μια στατική και καθόλου διαλεκτική σταθερά! Αυτή η ιδιαίτερη περίπτωση αντιστοιχεί βέβαια στον Πλάτωνα και στη διαστρεβλωμένη ιδεαλιστική οπτική της σχολής του. Αλλά η σφαίρα είναι μία πολύ ειδική περίπτωση ελλειψοειδούς (με μηδενική εκκεντρότητα). Στη γενική περίπτωση ενός συμμετρικού ελλειψοειδούς με τρεις άξονες, από τους οποίους ο μεγαλύτερος είναι d, o τύπος μας γίνεται:

όπου φ και ω γωνίες που αντιστοιχούν κατά ένα συγκεκριμένο τρόπο στους άλλους δύο άξονες. (Η Τζένη είχε την καλοσύνη να βγάλει αυτό το κομψό αποτέλεσμα με ελάχιστη προσπάθεια.)

Δικός σου, Μ.

Μάντσεστερ, 11 Μάη

Αγαπητέ Μορ

Ελπίζω να σε πρόλαβα, προτού καθίσεις να μου ξαναγράψεις. Πιστεύω, όπως σου έχω ξαναπεί, ότι αντικείμενο της διαλεκτικής των φυσικών επιστημών δεν είναι τα υλικά σώματα, αλλά τα κινούμενα σώματα. (Σκοπεύω, όπως ξέρεις, να γράψω πάνω σ’ αυτό ένα ολόκληρο βιβλίο, αν τα καταφέρω⁷). Έτσι και τα στερεά σώματα της γεωμετρίας δεν έχουν τόσο μεγάλη σημασία από μόνα τους, όσο έχουν σε σχέση με την κίνηση ή τη βαθμιαία παραμόρφωσή τους. Από την άποψη αυτή η σφαίρα και τα πλατωνικά στερεά δεν είναι παρά (όπως λες κι εσύ) ειδικές περιπτώσεις γενικότερων στερεών, που μάλιστα μπορούμε να τα φανταστούμε σε μία συνεχή παραμόρφωση. Στόχος της επιστήμης της γεωμετρίας, όμως, είναι να περιγράψει τα χαρακτηριστικά των σωμάτων που μένουν αναλλοίωτα απ’ αυτή την κίνηση ή την παραμόρφωση. Αν δεν κάνω λάθος υπάρχει ένας ταλαντούχος νεαρός μαθηματικός στο Βερολίνο, που μελετάει κάτω από ένα τέτοιο πρίσμα τη γεωμετρία, και που οι Πρώσσοι του έχουν κάνει τη ζωή δύσκολη⁸.

Όπως και να έχουν τα πράγματα, νομίζω ότι τη γεωμετρία θα πρέπει να τη δούμε σε άμεση σχέση με τη φυσική. Απ’ αυτή την άποψη, θα πρέπει οι ορισμοί και οι αποδείξεις σου να είναι συμβατοί όχι μόνο με την Ευκλείδεια, αλλά και με τις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες, που είναι και τα πιο πειστικά μοντέλα για την κίνηση των σωμάτων στο φυσικό χώρο του σύμπαντος, σε μεγάλη κλίμακα.

Δικός σου, Φ.Ε.

Λονδίνο, 22 Μάη

Αγαπητέ Φρεντ

Φοβάμαι πως θα σε απογοητεύσω. Ασφαλώς συμμερίζομαι τις απόψεις σου για τη σημασία της κίνησης και της συνεχούς παραμόρφωσης των σωμάτων. Το στρατηγικό όπλο, όμως, της επιστήμης της γεωμετρίας είναι η αξιωματική μέθοδος. Καλώς ή κακώς, αυτή είναι η μόνη μέθοδος που διαθέτουμε, αν δεν θέλουμε η γεωμετρία να υποταχθεί ολότελα στην άλγεβρα.

Η δυσκολία, βέβαια, βρίσκεται στην επιλογή των αξιωμάτων. Με απασχόλησε λοιπόν έντονα, αυτές τις μέρες, ποια αξιώματα θα μπορούσαμε να δεχτούμε για τον όγκο των σωμάτων, ώστε να εξαγάγουμε απ’ αυτά τον αντι-νομιναλιστικό τύπο μας , όπως τον περιγράψαμε στα τελευταία γράμματά μας. Το βασικό αξίωμα, λοιπόν, στο οποίο κατέληξα μετά από αρκετή σκέψη, λέει κάτι πολύ απλό: πως αν έχουμε δύο όμοια στερεά σώματα (δηλαδή με τις ίδιες στερεές γωνίες και αναλογίες μεταξύ των ακμών τους, αν πρόκειται για πολύεδρα, ή για δύο σώματα που το ένα είναι μια ακριβής μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου, στη γενική περίπτωση), τότε ο λόγος των όγκων τους θα είναι ίσος με την τρίτη δύναμη του λόγου δύο οποιωνδήποτε αντίστοιχων μηκών τους⁹.

Ποιός δεν θα δεχόταν ένα τέτοιο γεγονός ως αυταπόδεικτο για την έννοια του όγκου; Δυστυχώς, όμως, για μας, Φρεντ, μια τέτοια παραδοχή ισοδυναμεί με ιδεολογικό όλεθρο ή αν θέλεις, με μια Πύρρεια νίκη. Θα έχουμε αποδείξει το ζητούμενο, αλλά θα πρέπει να συμβιβαστούμε με την ιδέα ότι μόνο στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι δυνατό το όλο μας εγχείρημα! Γιατί αν δεχτούμε πως υπάρχουν στο χώρο όμοια σχήματα διαφορετικού μεγέθους, αυτό και μόνο συνεπάγεται (το έχεις συνειδητοποιήσει;) ότι ο χώρος μας είναι Ευκλείδειος¹⁰. Καταστροφή, Φρεντ, και ύστερα απ’ αυτά αποφάσισα να σταματήσω να ασχολούμαι με το θέμα. Και μη μου πεις, όπως συνηθίζεις να λες, ότι ο αστρονόμος Leverrier, στηριζόμενος στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και τη Νευτώνεια φυσική, ανακάλυψε τον πλανήτη Ποσειδώνα και επομένως η Ευκλείδεια γεωμετρία ισχύει τουλάχιστον στο ηλιακό μας σύστημα, γιατί αυτό είναι μια υπεκφυγή.

Πάντα δικός σου, Μ.

Υστερόγραφο: Η Τζένη επιμένει να κρατήσει τα γράμματα που ανταλλάξαμε στο θέμα αυτό και σε παρακαλεί να της στείλεις τα αντίγραφα των δικών μου, να τα φυλάξει μαζί με τα δικά σου.

Σημειώσεις

1. Από μόνη της. (Τέτοιες αποσπασματικές γαλλικές εκφράσεις βρίσκονται στην πραγματική αλληλογραφία Μαρξ- Ένγκελς.)
2. Με την ευκαιρία.
3. Πραγματεία Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού.
4. Σύμφωνα με την Πλατωνική παράδοση, οι γενικές (ή καθολικές) έννοιες έχουν πραγματική ύπαρξη, πέρα από τα συγκεκριμένα παραδείγματά τους. Αντίθετα, οι Νομιναλιστές, που εντάσσονται στη Σχολαστική παράδοση του Αριστοτέλη κατά το Μεσαίωνα, θεωρούσαν ότι οι γενικές έννοιες είναι απλά ονόματα (nomina) για να δηλώσουν ομοειδή αντικείμενα. Ο Ευτύχης Μπιτσάκης στο βιβλίο του Η Εξέλιξη των Θεωριών της Φυσικής, θεωρεί ότι η διαμάχη μεταξύ Πλατωνισμού και Νομιναλισμού σχετίζεται με την απόπειρα να οριοθετηθεί η επιστήμη από τη θεολογία και να κατοχυρωθεί η αυτονομία της επιστήμης.
5. Έτσι ο Τάσος Τοκμακίδης περιγράφει στη διδακτορική διατριβή του την εφαρμογή από τον Cauchy αναλυτικών εννοιών στη γεωμετρία. Αυτός ο αναγωγισμός, η τάση αναγωγής δηλαδή της γεωμετρίας στην άλγεβρα, μπορεί να ιδωθεί και ως μαθηματικός νομιναλισμός.
6. Ο Ένγκελς μοιάζει να αναφέρεται στην (υποτιθέμενη) περίφημη χειρόγραφη σημείωση του Fermat στο βιβλίο του Διόφαντου που διάβαζε, ότι έχει βρει μία ωραία απόδειξη για το ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις για , αλλά δεν τού φτάνει το περιθώριο της σελίδας για να τη γράψει.
7. Εννοεί μάλλον τη Διαλεκτική της Φύσης, που έγραψε αργότερα.
8. Εννοεί πολύ πιθανά τον Felix Klein.
9. Αν δεχτούμε ότι το αξίωμα αυτό ικανοποιείται από μία συνάρτηση με τιμές θετικές, που σε κάθε στερεό σώμα αντιστοιχίζει έναν όγκο, τότε μπορούμε όχι πολύ δύσκολα να αποδείξουμε τον τύπο V = K·d³ με τα χαρακτηριστικά που ο τύπος αυτός περιγράφεται σ’ αυτά τα γράμματα.
10. Το γεγονός ότι η παραδοχή για την ύπαρξη ομοίων σχημάτων διαφορετικού μεγέθους, είναι λογικά ισοδύναμη με το 5^ο Αίτημα του Ευκλείδη εξέπληξε πραγματικά τους μαθηματικούς που προσπαθούσαν μάταια, μέχρι τον Lobachevsky και τον Bolyai, να αποδείξουν το 5^ο Αίτημα από τα προηγούμενα αιτήματα.